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moyen, ou de celles qui ont précédé cette époque, si l’on fait $t$ négatif ; ainsi l’on pourra par leur moyen calculer pour un temps quelconque les valeurs des quantités $s_{5}$ et $u_{5}$ ; et, d’après ces valeurs, on trouvera le lieu du nœud ascendant de l’orbite de Mercure, ainsi que l’inclinaison de son orbite, par les formules

$\operatorname {tang} \omega _{5}={\frac {s_{5}}{u_{5}}},\quad \theta _{5}={\sqrt {s_{5}^{2}+u_{5}^{2}}},$

$\omega _{5}$ étant la longitude du nœud comptée depuis le lieu de l’équinoxe de 1760, et $\theta _{5}$ la tangente de l’inclinaison.

55. À l’égard du mouvement annuel des nœuds et de la variation annuelle de l’inclinaison, quoiqu’on puisse les déduire aisément des formules précédentes, il sera cependant plus commode de les déterminer par le moyen des formules différentielles (23), en y faisant $dt=1.$

De cette manière, on trouvera pour le mouvement annuel des nœuds de Mercure, par rapport aux étoiles fixes,

${\begin{aligned}d\omega _{5}=-1''{,}564\left[1-{\frac {\theta \ \ \cos(\omega _{5}-\omega \ \ )}{\theta _{5}}}\right]&-0''{,}080\left[1-{\frac {\theta _{1}\cos(\omega _{5}-\omega _{1})}{\theta _{5}}}\right]\\-0''{,}867\left[1-{\frac {\theta _{2}\cos(\omega _{5}-\omega _{2})}{\theta _{5}}}\right]&-3''{,}749\left[1-{\frac {\theta _{3}\cos(\omega _{5}-\omega _{3})}{\theta _{5}}}\right]\\&-0''{,}051\left[1-{\frac {\theta _{4}\cos(\omega _{5}-\omega _{4})}{\theta _{5}}}\right],\end{aligned}}$

et pour la variation annuelle de l’inclinaison

${\begin{aligned}d\theta _{5}=1''{,}564\theta \sin(\omega _{5}-\omega )&+0''{,}080\theta _{1}\sin(\omega _{5}-\omega _{1})+0''{,}867\theta _{2}\sin(\omega _{5}-\omega _{2})\\&+3''{,}749\theta _{3}\sin(\omega _{5}-\omega _{3})+0''{,}051\theta _{4}\sin(\omega _{5}-\omega _{4}).\end{aligned}}$

Ainsi il n’y aura qu’à substituer dans ces expressions les valeurs des quantités $\theta ,\theta _{1},\ldots ,\ \omega ,\omega _{1},\ldots ,$ qui répondent au temps donné, et qui résultent des formules générales données ci-dessus. Si l’on emploie celles qui répondent à l’époque de 1760, et que nous avons déduites des Tables, on trouvera, pour le siècle présent,