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Et l’on voit que cette formule peut se déduire de la précédente en y changeant entre elles les quantités $a$ et $b,$ et observant que

$(b,a)=-(a,b),$

comme cela se voit par les valeurs des symboles $(a,b)$ et $(b,a)\,;$ et cela a lieu, en général, pour tous ces symboles.

On aura donc ainsi les quatre formules correspondantes

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\Omega }{dc}}dt=&-(a,c)da&-(b,c)db&+(c,f)df&+(c,g)dg&+(c,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{df}}dt=&-(a,f)da&-(b,f)db&-(c,f)dc&+(f,g)dg&+(f,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{dg}}dt=&-(a,g)da&-(b,g)db&-(c,g)dc&-(f,g)df&+(g,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{dh}}dt=&-(a,h)da&-(b,h)db&-(c,h)dc&-(f,h)df&-(g,h)dg.\end{alignedat}}$

7. Il est bien remarquable que les différences partielles de la fonction $\Omega ,$ relatives aux constantes arbitraires, puissent s’exprimer ainsi par des fonctions différentielles de ces mêmes constantes sans que le temps $t$ y entre. Il s’ensuit qu’on pourra également exprimer les différentielles ${\frac {da}{dt}},{\frac {db}{dt}},{\frac {dc}{dt}},\ldots$ par les différences partielles de la fonction $\Omega$ relatives aux éléments $a,b,c,\ldots$ multipliées par de simples fonctions de ces quantités sans $t\,;$ car il n’y aura qu’à déduire les valeurs de ces différentielles des six équations précédentes par les méthodes ordinaires de l’élimination, et il est visible qu’elles seront toutes de la forme

$\left(\mathrm {A} {\frac {d\Omega }{da}}+\mathrm {B} {\frac {d\Omega }{db}}+\mathrm {C} {\frac {d\Omega }{dc}}+\mathrm {F} {\frac {d\Omega }{df}}+\mathrm {G} {\frac {d\Omega }{dg}}+\mathrm {H} {\frac {d\Omega }{dh}}\right)dt,$

dans laquelle les coefficients $\mathrm {A,B,C,F} ,\ldots$ ne seront donnés que par les coefficients $(a,b),(a,c),(b,c),\ldots$ et ne seront par conséquent que de simples fonctions des éléments sans $t\,;$ ce qui fournit un Théorème très-important et très-utile dans la Théorie des perturbations des planètes.