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17. Comme les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ sont du premier ordre relativement aux masses, il suffira, dans cette substitution, d’avoir égard aux secondes dimensions de ces quantités. Ainsi

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

deviendra

${\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} )+\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} }}}$

$={\frac {1}{r}}+{\frac {x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} }{r^{3}}}-{\frac {\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} }{2r^{3}}}+{\frac {\left(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} \right)^{2}}{2r^{5}}}$^[1],

et la quantité ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}$ deviendra

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+{\frac {dxd\mathrm {X} +dyd\mathrm {Y} +dzd\mathrm {Z} }{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}$^[2].

Par ces substitutions et en remettant ${\frac {1}{2\alpha }}$ à la place de sa valeur, on aura

${\frac {1}{2a}}={\frac {1}{2\alpha }}+{\frac {x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} }{r^{3}}}-{\frac {dxd\mathrm {X} +dyd\mathrm {Y} +dzd\mathrm {Z} }{(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}$

$+{\frac {\left(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} \right)^{2}-r^{2}\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)} }{r^{3}}}-{\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{2(1+\mathrm {M} )dt^{2}}}$^[3].

de la planète $m$ autour du Soleil, rien n’empêche de substituer ${\frac {1+\mathrm {M} }{(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}+(z-\mathrm {Z} )^{2}}},$ pourvu qu’aux forces perturbatrices existantes on ajoute une force nouvelle de même ordre que celles-ci, égale à ${\frac {\mathrm {M} -m}{(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}+(z-\mathrm {Z} )^{2}}},$ et dirigée du Soleil vers la planète.

(Note de l’Éditeur.)
1. Cette formule est inexacte ; le facteur $3,$ qui doit multiplier le dernier terme du second membre, a été omis par l’Auteur.$\qquad \qquad \qquad \qquad \ \$(Note de l’Éditeur.)
2. Le deuxième terme de cette expression, qui est affecté du signe $+,$ doit avoir le signe $-.$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
3. Les fautes que nous venons de signaler affectent la présente formule. Pour rétablir l’exactitude, il faut remplacer par $+$ le signe $-$ placé devant le troisième terme du second membre, et donner le coefficient $3$ à la première partie du numérateur du quatrième terme.
   (Note de l’Éditeur.)