Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/753

qu’on substituera dans les expressions de $(a,b),(a,c),\ldots$ du n^o 6, et, comme ces expressions doivent être indépendantes de $t,$ on pourra en rejeter les termes qui contiendront $t$ hors des signes de sinus et cosinus, et faire $u=0$ sous les sinus et cosinus.

On aura d’abord

${\frac {du}{dt}}={\frac {n}{1+b\cos u}},\quad {\frac {du}{da}}={\frac {n}{1+b\cos u}}{\frac {du}{da}}\,;$

mais on a

${\frac {dn}{n}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {da}{a}},$

d’où

${\frac {dn}{da}}=-{\frac {3n}{2a}},$

et par conséquent

${\begin{aligned}{\frac {du}{da}}=&-{\frac {3nt}{2a(1+b\cos u)}},\\{\frac {du}{db}}=&-{\frac {\sin u}{1+b\cos u}},\\{\frac {du}{dc}}=&\quad \ {\frac {1}{1+b\cos u}}.\end{aligned}}$

De là on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {dx}{da}}=&b+\cos u+{\frac {3nt\sin u}{2(1+b\cos u)}},\\{\frac {dy}{da}}=&{\sqrt {1-b^{2}}}\sin u-{\frac {3nt\cos u}{2(1+b\cos u)}}{\sqrt {1-b^{2}}}.\\{\frac {dx}{db}}=&a\left(1+{\frac {\sin ^{2}u}{1+b\cos u}}\right),\\{\frac {dy}{db}}=&-{\frac {ab}{\sqrt {1-b^{2}}}}\sin u-{\frac {a\sin u\cos u}{1+b\cos u}}{\sqrt {1-b^{2}}}.\\{\frac {dx}{db}}=&-{\frac {a\sin u}{1+b\cos u}},\\{\frac {dy}{db}}=&{\frac {a\cos u}{1+b\cos u}}{\sqrt {1-b^{2}}}.\end{aligned}}$