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${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&{\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{na^{2}b}}{\frac {d\Omega }{db}},\\{\frac {dg}{dt}}=&{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}\sin h}}{\frac {d\Omega }{dh}},\\{\frac {dh}{dt}}=&-{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}\sin h}}{\frac {d\Omega }{dg}}.\end{aligned}}$

Nous remarquerons ici que l’angle $d\varphi$ exprime proprement le mouvement de l’aphélie sur le plan de l’orbite mobile ; car cet angle est le même que celui que nous avons désigné par $d\mathrm {R}$ (23), et qui, d’après ce qui a été démontré dans la Section citée de la Mécanique analytique (26)^[1], représente la rotation de l’axe des $\mathrm {X} ,$ qui est le grand axe de l’ellipse, autour de l’axe des $\mathrm {Z}$ perpendiculaire au plan de l’orbite.

27. Maintenant je fais

$b\sin \varphi =\beta ,\quad b\cos \varphi =\gamma ,\quad \sin h\sin g=\varepsilon ,\quad \sin h\cos g=\lambda \,;$

j’ai, en différentiant,

${\begin{aligned}d\beta =&\sin \varphi \,db+b\cos \varphi \,d\varphi ,\\d\gamma =&\cos \varphi \,db-b\sin \varphi \,d\varphi ,\\d\varepsilon =&\cos h\sin g\,dh+\sin h\cos g\,dg,\\d\lambda =&\cos h\cos g\,dh-\sin h\sin g\,dg.\end{aligned}}$

Substituant les valeurs précédentes de $db,d\varphi ,dh,dg,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\beta }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{na^{2}}}\left({\frac {\sin \varphi }{b}}{\frac {d\Omega }{d\varphi }}-\cos \varphi {\frac {d\Omega }{db}}\right)+{\frac {1-b^{2}}{na^{2}b}}\sin \varphi {\frac {d\Omega }{dc}},\\{\frac {d\gamma }{dt}}=&-{\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{na^{2}}}\left({\frac {\cos \varphi }{b}}{\frac {d\Omega }{d\varphi }}+\sin \varphi {\frac {d\Omega }{db}}\right)+{\frac {1-b^{2}}{na^{2}b}}\cos \varphi {\frac {d\Omega }{dc}},\\{\frac {d\varepsilon }{dt}}=&-{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}}}\left({\frac {\cos h\sin g}{\sin h}}{\frac {d\Omega }{dg}}-\cos g{\frac {d\Omega }{dh}}\right),\\{\frac {d\lambda }{dt}}=&-{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-b^{2}}}}}\left({\frac {\cos h\cos g}{\sin h}}{\frac {d\Omega }{dg}}+\sin g{\frac {d\Omega }{dh}}\right).\end{aligned}}$

1. Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n^o 10.$\quad$(Note de l’Éditeur.)