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ce qui donne $m^{2}+3=39=13.3\,;$ donc, substituant la valeur de $z_{1}$ et divisant toute l’équation par $13,$ on aura

$r^{2}=3s^{2}-2.6ss_{1}+13s_{1}^{2}.$

Comme le coefficient $3$ de $s^{2}$ n’est ni carré, ni moindre que celui de $s_{1}$ dans l’équation précédente, on fera (n^o 54) $s=\mu s_{1}+s_{2},$ et, substituant, on aura la transformée

$r^{2}=3s_{2}^{2}-2(6-3\mu )s_{2}s_{1}+\left(3\mu ^{2}-2.6\mu +13\right)s_{1}^{2}\,;$

on déterminera $\mu$ en sorte que $6-3\mu$ ne soit pas $>{\frac {3}{2}},$ et il est clair qu’il faudra faire $\mu =2,$ ce qui donne $6-3\mu =0\,;$ et l’équation deviendra

$r^{2}=3s_{2}^{2}+s_{1}^{2},$

laquelle est, comme l’on voit, réduite à l’état demandé, puisque le coefficient du carré de l’une des deux indéterminées du second membre est aussi carré.

On fera donc, pour avoir la solution la plus simple qu’il est possible, $s_{2}=0,\ s_{1}=1$ et $r=1\,;$ donc $s=\mu =2,$ et de là $y_{1}={\frac {r}{s}}={\frac {1}{2}}\,;$ mais nous avons vu qu’il faut multiplier la valeur de $y_{1}$ par $2\,;$ ainsi l’on aura $y_{1}=1\,;$ donc, en rétrogradant toujours, on aura ${\frac {q_{1}}{p}}=1\,;$ donc $q_{1}=p\,;$ donc l’équation

$-12p^{2}=\left(-12q+41q_{1}\right)^{2}-13q_{1}^{2}$

donnera

$\left(-12q+41q_{1}\right)^{2}=p^{2}\,;$

donc

$-12q+41q_{1}=p,\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad 12q=40p\,;$

donc

$y={\frac {q}{p}}={\frac {40}{12}}={\frac {10}{3}}\,;$

mais, comme il faut diviser la valeur de $y$ par $2,$ on aura $y={\frac {5}{3}}\,;$ ce sera le côté de la racine de la formulé proposée $7+15x+13x^{2}$ ainsi, fai-