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Je trouve $n=\pm 321,$ ce qui donne $n^{2}+7=1171.88\,;$ ainsi je substitue dans l’équation précédente $\pm 321y-1171z$ à la place de $x,$ moyennant quoi elle se trouve toute divisible par $1171,$ et la division faite, elle devient

$88y^{2}\mp 642yz+1171z^{2}=1.$

Pour résoudre cette équation je vais faire usage de la seconde méthode exposée dans le n^o 70, parce qu’elle est en effet plus simple et plus commode que la première. Or, comme le coefficient de $y^{2}$ est plus petit que celui de $z^{2},$ j’aurai ici $\mathrm {D} =1171,\ \mathrm {D} _{1}=88$ et $n=\pm 321\,;$ donc, retenant pour plus de simplicité la lettre $y$ à la place de $\theta$, et mettant $y_{1}$ à la place de $z,$ je ferai le calcul suivant, où je supposerai d’abord $n=321\,:$

${\begin{alignedat}{2}m\ \,=&{\frac {321}{88}}=4,&n_{1}=&321-4.88=-31,\\m_{1}=&{\frac {-31}{11}}=-3,&n_{2}=&-31+3.11=2,\\m_{2}=&{\frac {2}{1}}=2,&n_{3}=&2-2.1=0,\\\\\mathrm {D} _{2}=&{\frac {31^{2}+7}{88}}=11,\qquad &y\ \,=&4y_{1}+y_{2},\\\mathrm {D} _{3}=&{\frac {4+7}{11}}=1,&y_{1}=&-3y_{2}+y_{3},\\\mathrm {D} _{4}=&{\frac {7}{1}}=7,&y_{2}=&2y_{3}+y_{4}.\end{alignedat}}$

Puisque $n_{3}=0$ et par conséquent $<{\frac {\mathrm {D} _{3}}{2}}$ et $<{\frac {\mathrm {D} _{4}}{2}},$ on s’arrêtera ici et l’on fera

$\mathrm {D_{3}=M=1,\quad D_{4}=L} =7,\quad n_{3}=0=\mathrm {N} ,\quad {\text{et}}\quad y_{3}=\xi ,\quad y_{4}=\psi ,$

à cause que $\mathrm {D} _{3}$ est $<\mathrm {D} _{4}.$

Maintenant je remarque que, $\mathrm {A}$ étant $=-7,$ et par conséquent négatif, il faut, pour la résolubilité de l’équation, que l’on ait $\mathrm {M} =1\,;$ c’est ce que l’on vient de trouver, de sorte qu’on en peut conclure