sont dans nos Tables usuelles, consiste à exprimer tous les nombres par des puissances de et ainsi les exposants de ces puissances en sont les logarithmes. De cette manière, il est clair que la multiplication et la division de deux nombres se réduisent à l’addition et à la soustraction des exposants respectifs, c’est-à-dire, de leurs logarithmes ; et par conséquent l’élévation aux puissances et l’extraction des racines se réduisent à la multiplication ou à la division, ce qui est d’un avantage immense dans l’Arithmétique, et y rend les logarithmes si précieux.
Mais, à l’époque où l’on a inventé les logarithmes, on ne connaissait pas encore cette théorie des puissances, on ne pensait pas que la racine d’un nombre pût être regardée comme une puissance fractionnaire. Voici comment on y est parvenu :
L’idée primitive est celle de deux progressions correspondantes, une arithmétique, l’autre géométrique ; c’est ainsi qu’on les a conçues ; mais il fallait trouver le moyen d’avoir les logarithmes de tous les nombres. Comme les nombres suivent la progression arithmétique, pour qu’ils puissent se trouver tous parmi les termes d’une progression géométrique, il est nécessaire d’établir cette progression de manière que les termes successifs soient très-rapprochés l’un de l’autre ; et, pour prouver la possibilité d’exprimer ainsi tous les nombres, l’inventeur Neper, les a d’abord considérés comme exprimés par des lignes et des parties de lignes, et il a considéré ces lignes comme engendrées par le mouvement continuel d’un point, ce qui est très-naturel.
Il a donc considéré deux lignes la première engendrée par le mouvement d’un point qui décrit en temps égaux des espaces en progression géométrique, et l’autre engendrée par un point qui décrit des espaces qui augmentent comme les temps, et qui forment par conséquent une progression arithmétique, correspondante à la géométrique ; et il a supposé, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales de ces deux points étaient égales, ce qui lui a donné les logarithmes, qu’on a d’abord appelés naturels, ensuite hyperboliques, lorsqu’on a reconnu qu’ils pouvaient être exprimés par l’aire de l’hyperbole entre les asymptotes. De cette manière, il est clair que, pour avoir le logarithme d’un
