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possible, il faudrait faire chaque division en dedans ou en dehors, suitvant qu’elle donnera le reste le plus petit (3).

12. Comme cette manière de convertir une fraction en série est peu connue, et peut être utile dans beaucoup de cas, nous allons l’éclaircir par quelques exemples.

Soit la fraction ${\frac {887}{1103}}\,;$ voici l’opération entière, dans laquelle je ferai toutes les divisions en dedans

${\begin{aligned}&887\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 1\quad \ \\887&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&216\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 5\quad \ \\1080&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&23\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 47\quad \\1081&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&22\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 50\quad \\1100&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&3\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}103&\ 367\ \\\,1101&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&2\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|r|r}1103&\ 551\,\ \ \\1102&\\\hline \end{array}}$

${\begin{aligned}&1\ \\\\\end{aligned}}{\begin{array}{|rc|}1103&\\1103&\\\hline \end{array}}{\begin{aligned}&\ 1103\\\\\end{aligned}}$

$0$

On voit que les restes sont $-216,-23,-22,-3,-2,-1,$ et les quotients $1,5,47,50,367,551,1103\,;$ de sorte que l’on aura cette série alternative,

${\begin{aligned}{\frac {887}{1103}}=1&-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5.47}}-{\frac {1}{5.47.50}}+{\frac {1}{5.47.50.367}}\\&-{\frac {1}{5.47.50.367.551}}+{\frac {1}{5.47.50.367.551.1103}}.\end{aligned}}$

Prenons la fraction qui exprime le rapport de la circonférence au