opérations qui ont servi à les former. Dans l’Algèbre, au contraire, les quantités qu’on cherche doivent être des fonctions des quantités données, c’est-à-dire, des expressions qui représentent les différentes opérations qu’il faut faire sur ces quantités, pour obtenir les valeurs des quantités cherchées.
Dans l’Algèbre proprement dite, on ne considère que les fonctions primitives qui résultent des opérations algébriques ordinaires ; c’est la première branche de la théorie des fonctions. Dans la seconde branche on considère les fonctions dérivées, et c’est cette branche que nous désignons simplement par le nom de Théorie des fonctions analytiques, et qui comprend tout ce qui a rapport aux nouveaux calculs.
Les fonctions dérivées se présentent naturellement dans la Géométrie, lorsqu’on considère les aires, les tangentes, les rayons osculateurs, etc., et dans la Mécanique, lorsqu’on considère les vitesses et les forces. Si l’on regarde, par exemple, l’aire d’une courbe comme fonction de l’abscisse, l’ordonnée en est la première fonction dérivée, ou fonction prime ; l’angle que la tangente de la courbe fait avec l’axe a pour tangente la fonction prime de l’ordonnée, et par conséquent la seconde fonction dérivée, ou fonction seconde de l’aire ; le rayon osculateur dépend des deux premières fonctions dérivées de l’ordonnée, et ainsi de suite.
De même, en regardant l’espace parcouru comme fonction du temps, la vitesse en est la fonction prime, et la force accélératrice en est la fonction seconde. Ce n’est pas un des moindres avantages de la théorie des fonctions de fournir, pour ces éléments de la Géométrie des courbes, et de la Mécanique, des expressions aussi simples et aussi intelligibles que le sont les expressions algébriques des puissances et des racines.
