différence d’azimut des deux astres, si les deux côtés adjacents son composés comme on vient de le dire, et que le côté opposé soit la corde de la distance des mêmes astres.
Si l’on appelle 
la somme des hauteurs, et 
leur différence, les parties fixes des branches principales sont 
les parties mobiles des deux branches à coulisses, qui glissent sur les branches principales, sont 
enfin le troisième côté ou la branche transversale est 
donc, dans le triangle 
on aura une des branches
l’autre branche
et le côté 
destiné à représenter la distance 
Dans un triangle rectiligne 
on a (Astronomie, Art. 3849)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\left(\sin {\frac {d}{2}}\right)^{2}=&\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}+\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}-\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\\&-2\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}+\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}-\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)\cos \mathrm {Z} \\=&2\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}\right)^{2}+2\left(\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\\&-2\left[\left(\cos {\frac {\mathrm {H} +h}{2}}\right)^{2}-\left(\sin {\frac {\mathrm {H} -h}{2}}\right)^{2}\right]\cos \mathrm {Z} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09da1d74996bf77d96479b77138fd1a7c2907dd)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle 2-2\cos d=2+\cos(\mathrm {H} +h)-\cos(\mathrm {H} -h)-\left[\cos(\mathrm {H} +h)+\cos(\mathrm {H} -h)\right]\cos \mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ed46bb8b39f0fa3c47514daf36ca32a36e45a3)
ou
ce qui revient à la formule connue (Astronomie, Art. 3947).
