l’on y mettait à la place de
et
d’autres nombres moindres quelconques.
Problème II.
28. Étant proposée la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63eb422e229f29339f95dd3072ccd62b0503477)
dans laquelle
sont des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et où
et
sont des nombres indéterminés, qu’on suppose devoir être entiers et positifs, on demande quelles valeurs on doit donner à
et
pour que la quantité proposée devienne la plus petite qu’il est possible.
Soient
les racines réelles, et
les racines imaginaires de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59f7d5dc7eb045c17d26faccb5b0af2e29da12e)
on aura, par la Théorie des équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} p^{m}&+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m}\\=&\mathrm {A} (p-\alpha q)(p-\beta q)(p-\gamma q)\ldots \left[p-\left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)q\right]\\&\times \left[p-\left(\mu -\nu {\sqrt {-1}}\right)q\right]\left[p-\left(\varpi +\rho {\sqrt {-1}}\right)q\right]\left[p-\left(\mu -\rho {\sqrt {-1}}\right)q\right]\ldots \\=&\mathrm {A} (p-\alpha q)(p-\beta q)(p-\gamma q)\ldots \left[(p-\mu q)^{2}+\nu ^{2}q^{2}\right]\left[(p-\varpi q)^{2}+\rho ^{2}q^{2}\right]\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb8833e4a979a162b0297115de9d5a115e3462b)
Donc la question se réduit à faire en sorte que le produit des quantités
et ![{\displaystyle (p-\mu q)^{2}+\nu ^{2}q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9441b5a85370ba7855138f891b80d6118e03c6e0)
soit le plus petit qu’il est possible, tant que
et
sont des nombres entiers positifs.
Supposons qu’on ait trouvé les valeurs de
et
qui répondent au minimum ; et, si l’on met à la place de
et
d’autres nombres moindres, il faudra que le produit dont il s’agit acquière une valeur plus grande. Donc il faudra nécessairement que quelqu’un des facteurs augmente de valeur. Or il est visible que, si
par exemple, était négatif, le facteur
diminuerait toujours, lorsque
et
décroîtraient ; la