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résoudre l’équation

$39p=56q+11\,;$

changeant $p$ en $x$ et $q$ en $y,$ on aura donc

$39x-56y=11.$

Ainsi on fera $a=39,\ b=56$ et $c=11\,;$ et, comme $56$ et $39$ sont déjà premiers entre eux, on aura $a_{1}=39,\ b_{1}=56,\ c_{1}=11.$ On réduira donc en fraction continue la fraction ${\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {56}{39}},$ et pour cela on fera ( comme on l’a déjà pratiqué dans le n^o 20) le calcul suivant

${\begin{array}{r|r|l}39&56&1\\&{\underline {39}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}17&39&2\\&{\underline {34}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}5&17&3\\&{\underline {15}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}2&5&2\\&{\underline {4}}&\end{array}}$

${\begin{array}{r|r|l}1&2&2\\&{\underline {2}}&\end{array}}$

$0.$

Ensuite, à l’aide des quotients $1,2,3,\ldots ,$ on formera les fractions

${\begin{array}{ccccc}1,&2,&3,&2,&2,\\{\frac {1}{1}},&{\frac {3}{2}},&{\frac {10}{7}},&{\frac {23}{16}},&{\frac {56}{39}},\end{array}}$

et la pénultième fraction ${\frac {23}{16}}$ sera celle que nous avons désignée, en général, par ${\frac {p}{q}}\,;$ de sorte qu’on aura $p=23$, $q=16\,;$ et, comme cette fraction est la quatrième et par conséquent d’un quantième pair, il faudra prendre le signe supérieur ; ainsi l’on aura, en général,

$x=23.11+56m,\quad y=16.11+39m,$

$m$ pouvant être un nombre quelconque entier, positif ou négatif.