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NOTES
SUR
LA THÉORIE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

NOTE I.

SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME I.

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Les deux théorèmes du Chapitre I sont la base de toute la théorie des équations et doivent être démontrés d’une manière rigoureuse, et sans rien emprunter de cette même théorie. La démonstration que j’ai donnée du premier théorème (n^o 1) est tirée de la considération des facteurs de l’équation, et pourrait laisser des doutes relativement aux facteurs imaginaires. Il est vrai qu’en supposant connu le théorème sur la forme des racines imaginaires, on est sûr que le produit de deux facteurs imaginaires correspondants est toujours une quantité essentiellement positive, quelque valeur qu’on donne à $x,$ d’où il suit que la différence des signes dans les résultats des substitutions de $p$ et $q$ à la place de $x$ ne peut venir que des racines réelles. Mais on doit observer que la démonstration rigoureuse de ce théorème dépend elle-même du théorème qu’il s’agit de démontrer, de sorte qu’on ne peut l’employer dans la démonstration de celui-ci. Pour éviter toute difficulté, j’ai cherché à démontrer ce théorème par la nature même de l’équation, indépendamment d’aucune de ses propriétés.