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Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas ;

Par M. L. WANTZEL,

Élève-Ingénieur des Ponts-et-Chaussées.

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I.

Supposons qu’un problème de Géométrie puisse être résolu par des intersections de lignes droites et de circonférences de cercles : si l’on joint les points ainsi obtenus avec les centres des cercles et avec les points qui déterminent les droites on formera un enchaînement de triangles rectilignes dont les éléments pourront être calculés par les formules de la Trigonométrie ; d’ailleurs ces formules sont des équations algébriques qui ne renferment les côtés et les lignes trigonométriques des angles qu’au premier et au second degré ; ainsi l’inconnue principale du problème s’obtiendra par la résolution d’une série d’équations du second degré dont les coefficients seront fonctions rationnelles des données de la question et des racines des équations précédentes. D’après cela, pour reconnaître si la construction d’un problème de Géométrie peut s’effectuer avec la règle et le compas, il faut chercher s’il est possible de faire dépendre les racines de l’équation à laquelle il conduit de celles d’un système d’équations du second degré composées comme on vient de l’indiquer. Nous traiterons seulement ici le cas où l’équation du problème est algébrique.

II.

Considérons la suite d’équations :

(A)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}x_{1}^{2}+{\rm {A}}x_{1}+{\rm {B}}=&0&x_{2}^{2}+{\rm {A_{1}}}x_{2}+{\rm {B_{1}}}=&0\ldots \\x_{n-1}^{2}+{\rm {A}}_{n-2}x_{n-1}+{\rm {B}}_{n-2}=&0&\qquad x_{n}^{2}+{\rm {A}}_{n-1}x_{n}+{\rm {B}}_{n-1}=&0\\\end{alignedat}}\right.$

dans lesquelles ${\rm {A}}$ et ${\rm {B}}$ représentent des fonctions rationnelles des quantités données $p$, $q$, $r$… ; ${\rm {A_{1}}}$ et ${\rm {B_{1}}}$ des fonctions rationnelles de $x_{1},p,q$, … ; et, en général, ${\rm {A_{m}}}$ et ${\rm {B_{m}}}$ des fonctions rationnelles de $x_{m},x_{m-1},\ldots ,x_{1},p,q\ldots$

Toute fonction rationnelle de $x_{m}$ telle que ${\rm {A_{m}}}$ ou ${\rm {B_{m}}}$, prend la forme ${\frac {{\rm {C}}_{m-1}x_{m}+{\rm {D}}_{m-1}}{{\rm {E}}_{m-1}x_{m}+{\rm {F}}_{m-1}}}$ si l’on élimine les puissances de $x_{m}$ supérieures à la pre-