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Le raisonnement par récurrence;
la nécessité
et la nouveauté en mathématiques

Les anciens, frappés par la nécessité du raisonnement mathématique, ont cru, semble-t-il, pouvoir en rendre compte en le faisant reposer sur l’identité. C’est pourquoi les philosophes mathématiciens, comme les Eléates, s’efforcent d’expliquer le réel en le réduisant à ce qui reste identique, au permanent. C’est ce qui permet aussi de comprendre que jusqu’aux temps modernes, la logique tout entière ait été une logique de l’identité, et ait été absorbée par la logique formelle telle que l’avait définie Aristote.

Cependant Descartes aperçoit nettement l’insuffisance de la logique d’Aristote, et le reproche essentiel qu’il lui fait c’est de « servir plutôt à expliquer à autrui les choses qu’on sait » (Discours de la Méthode, 2e partie) ; le syllogisme est strictement analytique, il ne permet pas de découvrir des propositions nouvelles. Descartes, en quête d’une méthode d’invention, va s’adresser à « l’analyse des anciens et à l’algèbre des modernes » (Discours de la Méthode, 2e partie) en un mot aux mathématiques.

Mais si le raisonnement mathématique permet d’ « inventer », si la conclusion est plus étendue que les prémisses, ne faut-il pas renoncer à l’idée des anciens et le faire reposer sur un autre principe que le principe d’identité ? La philosophie des ’mathématiques obéissant désormais à cette nouvelle préoccupation, va s’efforcer d’expliquer ce caractère synthétique de la démonstration ; c’est ce qui amènera Poincaré à faire sa théorie du raisonnement par récurrence, et M. Goblot à voir dans le raisonnement mathématique le résultat d’opérations constructives.

Poincaré pose nettement le problème de la nature du raisonnement mathématique, dès le début de la « Science et l’Hypothèse »: