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égales ; il aura donc une figure semblable à celle qu’on voit fig. 9, et

Fig. 9.

ainsi de suite. D’où l’on conclura que les polygones auront toujours autant de ventres d’égale longueur qu’il y a d’unités dans le nombre $s.$

30. Présentement, si l’on s’attache à la seconde équation, on trouvera en la réduisant

$\sin \left(2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {s\varpi }{4m}}\right)={\frac {\mathrm {A} \sin {\cfrac {s\varpi }{4m}}}{\sqrt {\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(\sin {\cfrac {s\varpi }{4m}}\right)^{2}}}}.$

Posons, pour abréger,

${\frac {\mathrm {A} \sin {\cfrac {s\varpi }{4m}}}{\sqrt {\mathrm {B^{2}+A^{2}} \left(\sin {\cfrac {s\varpi }{4m}}\right)^{2}}}}=\mathrm {Z} .$

on en tirera

$2t{\sqrt {e}}\sin {\frac {s\varpi }{4m}}=\operatorname {arc} \sin \mathrm {Z} \quad {\text{et}}\quad t={\frac {\operatorname {arc} \sin \mathrm {Z} }{2{\sqrt {e}}\sin {\cfrac {s\varpi }{4m}}}},$

équation qui pourra être vraie quel que soit le nombre $\mu ,$ parce qu’il n’y entre point ; d’où il suit que les polygones ne peuvent jamais couper leurs axes en d’autres points que dans ceux que nous avons déterminés ci-dessus, à moins qu’ils ne se confondent entièrement avec les axes mêmes, ce qui arrivera toutes les fois que $t$ aura la valeur assignée. Or, comme il y a une infinité d’arcs qui répondent tous aux mêmes sinus, la quantité $t,$ pourra aussi recevoir une infinité de valeurs. Pour les trouver, soient $\theta$ le moindre arc qui répond au sinus $\mathrm {Z} ,$ et $k$ un nombre quelconque