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que $x$ est déjà lui-même égal à zéro. Pour lever cette difficulté, supposons que $x,$ au lieu d’être tout à fait nul, soit seulement infiniment petit et égal à $\alpha ,$ et développons chaque fonction ${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(\alpha \pm t{\sqrt {c}}\right),$ ${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(\alpha \pm t{\sqrt {c}}\right),\ldots$ suivant la formule connue

$\varphi (z+a)=\varphi (z)+\alpha \varphi '(z)+{\frac {\alpha ^{2}\varphi ''(z)}{2}}+{\frac {\alpha ^{3}\varphi '''(z)}{2.3}}+\ldots \,;$

en effaçant ce qui se détruit et en négligeant les termes qui se trouvent multipliés par des puissances de $\alpha ,$ on aura l’équation

${\begin{aligned}0=&-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{4}}\\&-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)}{4}},\end{aligned}}$

qui doit être vraie indépendamment de la quantité $\alpha \,;$ donc on aura

${\begin{aligned}\left[{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]+\left[{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]=&0\\\left[\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)+\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]+\left[{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)\right]=&0,\end{aligned}}$

équations auxquelles on satisfera en posant

${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)=-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)\quad {\text{et}}\quad {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)={\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right).$

ou bien, en différentiant,

${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)=-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right).$

Or, $t$ étant une variable qui peut croître à l’infini en commençant à zéro, $t{\sqrt {c}}$ pourra représenter une abscisse quelconque positive ; donc la nature des fonctions ${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi$ et ${\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi$ devra être telle que, faisant les abscisses négatives, ces fonctions deviennent simplement négatives sans changer de valeur. Il en sera de même des fonctions $\varphi$ et $\psi ,$ puisque, en différentiant deux fois les équations précédentes, elles deviennent

$\varphi \left(-t{\sqrt {c}}\right)=-\varphi \left(t{\sqrt {c}}\right)\quad {\text{et}}\quad \psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)=-\psi \left(t{\sqrt {c}}\right)\,;$

d’où l’on voit que les deux courbes $\mathrm {ANB,AQB} ,$ qui représentent ces