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lorsque $x=a$ et $x=0.$ Or dans le premier cas, $y$ étant lui-même égal à zéro, il suffira que $\mathrm {M}$ le soit aussi ; dans le second il est clair que toute la quantité s’évanouira d’elle-même à cause du facteur $\int \mathrm {X} dx$ qui multiplie tous ses termes ; cependant on supposera toujours $\mathrm {M} =0,$ afin de terminer la suite des points mobiles au bout inférieur de la chaîne.

35. Scolie i. — Par les formules données dans ce Chapitre, on peut résoudre le Problème du n^o 61 de l’excellent Traité de la résistance des fluides, de M. d’Alembert, d’une manière peut-être plus analytique que ne l’a fait cet Auteur. Voici en quoi consiste ce Problème : il s’agit de trouver deux quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ telles, que $\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dz$ et $z\mathrm {B} dx-z\mathrm {A} dz$ soient l’une et l’autre des différentielles exactes. Pour rendre la question plus générale, je me propose de rendre exactes les deux différentielles $\alpha dt+\beta dx,$ $x^{m}\beta dt+bxs^{n}\alpha dx\,;$ soit la première égale à $dp$ et la seconde égale à $dq,$ on aura

$\alpha ={\frac {dp}{dt}},\quad \beta ={\frac {dp}{dx}},\quad x^{m}\beta ={\frac {dq}{dt}},\quad bx^{n}\alpha ={\frac {dq}{dx}}\,;$

donc

$x^{m}{\frac {dp}{dx}}={\frac {dq}{dt}},\qquad bx^{n}{\frac {dp}{dt}}={\frac {dq}{dx}}.$

Je différentie ces équations en faisant varier $x$ seul dans la première et $t$ seul dans la seconde, et je compare ensuite les deux valeurs de ${\frac {d^{2}q}{dxdt}}\,;$ j’ai

${\frac {dx^{m}{\cfrac {dp}{dx}}}{dx}}=bx^{n}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}},$

savoir

$bx^{n-m}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {m}{x}}{\frac {dp}{dx}}.$

équation qui est, comme on le voit, susceptible de notre méthode ; en suivant cette méthode, on trouvera d’abord l’équation en $\mathrm {M}$

$k\mathrm {M} x^{n-m}={\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-m{\frac {d{\cfrac {\mathrm {M} }{x}}}{dx}},$