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sans qu’il soit séparément $p=0,\ q=0\ r=0,$ comme dans les équations $(a),\ (b),\ (c).$

Or, cette dernière formule étant semblable à la formule

$\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$

qui a fourni les équations $(a),\ (b),\ (c),$ on trouvera par des procédés pareils les équations suivantes :

${\begin{alignedat}{2}(p)&\qquad \qquad \qquad &\beta p+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&0,\\(q)&&\beta q+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}=&0,\\(r)&&\beta r+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&0\,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tirera les valeurs de $p,q,r,$ qui, étant substituées ci-dessus, donneront des nouvelles valeurs de $x,y,z,\ldots .$

Il faut remarquer que dans la transformation de la formule

$\int (p\mathrm {L} +q\mathrm {M} +r\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$

on trouvera des intégrales à deux changeantes de même forme que celles qui résultent de la formule

$\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \,;$

il faudra donc les faire évanouir, en supposant aux valeurs de $p,q,r$ les mêmes conditions qu’à celles de $x,y,z\,;$ d’où il s’ensuit que, comme les équations $(p),\ (q),\ (r)$ sont d’ailleurs entièrement semblables aux équations $(a),\ (b),\ (c),$ on aura de même

${\begin{aligned}p=&\mathrm {A} \varphi (\beta ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\q=&\mathrm {A} \psi (\beta ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\r=&\mathrm {A} \chi (\beta ,\mathrm {X,Y,Z} ),\end{aligned}}$

et de plus que la quantité $\beta$ aura les mêmes valeurs que la quantité $-k.$