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Soit donc posé en général $-k=\alpha ^{(p)},$ le second membre de l’équation deviendra

$\mathrm {S} ^{(\mu )}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(\mu )}}{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right),$

et le terme $\mu$^ième du premier membre étant

$\left[\mathrm {S} ^{(\mu )}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(\mu )}}{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(\mu )}}}\right)\right]$

$\times \int \left(\mathrm {P^{(\mu )}L+Q^{(\mu )}M+R^{(\mu )}N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$

pour identifier les deux membres, on supposera que

$\int \left(\mathrm {P^{(\mu )}L+Q^{(\mu )}M+R^{(\mu )}N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

soit égal à $1,$ et que toutes les autres formules exprimées généralement par

$\int (\mathrm {PL+QM+RN} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

soient nulles, $-k$ étant égal à $\alpha ^{(\mu )}$ dans les valeurs de $\mathrm {L,M,N} \,;$ d’où l’on voit que les valeurs de $\mathrm {P,Q,R}$ devront être telles, que la formule générale

$\int \left(\mathrm {P^{(\mu )}L+Q^{(\mu )}M+R^{(\mu )}N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

soit toujours égale à $1,$ lorsque $k=-\alpha ^{(\mu )},$ et qu’elle soit toujours égale à zéro, lorsque $k$ a une autre valeur quelconque,

Or, par ce qui a été démontré dans le n^o 60, on trouvera d’abord, pour remplir cette dernière condition, les équations suivantes :

${\begin{aligned}\alpha ^{(\mu )}\mathrm {P} ^{(\mu )}=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} ^{(\mu )}}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} ^{(\mu )}}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{(\mu )}}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }},\\\alpha ^{(\mu )}\mathrm {Q} ^{(\mu )}=&{\frac {d^{2}\mathrm {Q} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }},\\\alpha ^{(\mu )}\mathrm {R} ^{(\mu )}=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} ^{(\mu )}}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }},\end{aligned}}$