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ou, ce qui en est l’équivalent,

$\int \delta \mathrm {Z} =0.$

Or, soit $\mathrm {Z}$ tel que

${\begin{alignedat}{5}\delta \mathrm {Z} =&&n\delta x&+&p\delta dx&+&q\delta d^{2}x&+&r\delta d^{3}x&+&\ldots \\&+&\mathrm {N} \delta y&+&\mathrm {P} \delta dy&+&\mathrm {Q} \delta d^{2}y&+&\mathrm {R} \delta d^{3}y&+&\ldots \\&+&\nu \delta z&+&\varpi \delta dz&+&\chi \delta d^{2}z&+&\rho \delta d^{3}z&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

il en viendra l’équation

${\begin{alignedat}{6}&&\int n\delta x&+&\int p\delta dx&+&\int q\delta d^{2}x&+&\int r\delta d^{3}x&+&\ldots \\&+&\int \mathrm {N} \delta y&+&\int \mathrm {P} \delta dy&+&\int \mathrm {Q} \delta d^{2}y&+&\int \mathrm {R} \delta d^{3}y&+&\ldots \\&+&\int \nu \delta z&+&\int \varpi \delta dz&+&\int \chi \delta d^{2}z&+&\int \rho \delta d^{3}z&+&\ldots &=&0\,;\end{alignedat}}$

mais on comprend aisément que

$\delta dx=d\delta x,\qquad \delta d^{2}x=d^{2}\delta x,$

et ainsi des autres ; de plus, on trouve, par la méthode des intégrations par parties,

${\begin{alignedat}{3}&\int pd\delta x&=&p\delta x&-&\int dp\delta x,\\&\int qd^{2}\delta x&=&qd\delta x&-&dq\delta x&+&\int d^{2}q\delta x,\\&\int rd^{3}\delta x&=&rd^{2}\delta x&-&drd\delta x&+&d^{2}r\delta x&-&\int d^{3}r\delta x,\end{alignedat}}$

et ainsi du reste ; donc l’équation précédente se changera en celle-ci :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&\int \left(n-dp\ +d^{2}q\ -d^{3}r\ \,+\ldots \right)\delta x\\+&\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -d^{3}\mathrm {R} +\ldots \right)\delta y\\+&\int (\nu \,\ -d\varpi +d^{2}\chi \,-d^{3}\rho \ +\ldots )\delta z\\+&\left(p\,-dq\,+d^{2}r\,\ -\ldots \right)\delta x+(q\ -dr\ +\ldots )d\delta x\,+(r\ -\ldots )d^{2}\delta x+\ldots \\+&(\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {R} -\ldots )\delta y\,\ +(\mathrm {Q} -d\mathrm {R} +\ldots )d\delta y\,+(\mathrm {R} -\ldots )d^{2}\delta y+\ldots \\+&(\varpi -d\chi +d^{2}\rho \ -\ldots )\delta z\ \ +(\chi \,-d\rho \,+\ldots )d\delta z\ +(\rho \,-\ldots )d^{2}\delta z\\+&\ldots =0\,;\end{aligned}}\right.$