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Cette valeur de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\ldots$ étant substituée dans l’équation (E), soit fait

${\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\mathrm {X} ,&y'\ =&y+\mathrm {Y} ,&z'\ =&z+\mathrm {Z} ,\\x''=&x+\mathrm {X} ',\qquad &y''=&y+\mathrm {Y} ',\qquad &z''=&z+\mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et par conséquent

${\begin{alignedat}{3}\delta x'\ =&\delta x+\delta \mathrm {X} ,&\delta y'\ =&\delta y+\delta \mathrm {Y} ,&\delta z'\ =&\delta z+\delta \mathrm {Z} ,\\\delta x''=&\delta x+\delta \mathrm {X} ',\qquad &\delta y''=&\delta y+\delta \mathrm {Y} ',\qquad &\delta z''=&\delta z+\delta \mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

il est clair que les lignes $f,f',g,\ldots ,$ qui marquent les distances des corps entre eux, dépendront uniquement des lignes $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z'} ,\ldots ,$ qui déterminent leur position respective, et qu’ainsi les expressions des différences $\delta f,\delta f',\delta g,\ldots$ ne renfermeront aucunement les différences $\delta x,\delta y,\delta z\,;$ on remarquera de plus que ces mêmes différences $\delta x,\delta y,\delta z$ seront absolument indépendantes de toutes les autres différences $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\ldots .$ Car il est évident que, l’action mutuelle des corps ne dépendant que de leur position respective, savoir des lignes $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z',X''} ,\ldots ,$ il n’y aura que les seules différences $\mathrm {\delta X,\delta Y,\delta Z,\delta X',\delta Y',\delta Z'} ,\ldots$ de ces mêmes lignes qui soient liées entre elles par des rapports donnés par la nature du Problème ; d’où il suit que les termes affectés des différences $\delta x,\delta y,\delta z$ dans l’équation (E) devront être chacun en particulier égal à zéro ; ce qui donnera les trois équations générales

${\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {udx}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dx'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dx''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )P} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udy}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dy'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dy''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )Q} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udz}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dz'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )R} dt=&0,\\\end{aligned}}$

Or,

${\frac {ds}{u}}={\frac {ds'}{u'}}={\frac {ds''}{u''}}=\ldots =dt.$