Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/507

ce qui donne, par les lois générales de l’équilibre des fluides, l’équation dont nous parlons. Or je dis que, suivant les hypothèses de M. d’Alembert, il faut écrire $\theta ^{2}$ au lieu de $\theta$ dans les expressions des forces en question. Car il est facile de voir que ces forces sont en général

$g-{\frac {d\alpha }{dt}},\qquad -{\frac {d\gamma }{dt}},$

savoir :

$g-{\frac {d(\theta q)}{dt}},\qquad {\frac {d(\theta p}{dt}},$

c’est-à-dire

$g-q\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} dx}{dt}},\qquad -p\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} 'dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} 'dz}{dt}}\,;$

mais

$dx=\alpha dt=\theta qdt,\qquad dz=\gamma dt=\theta pdt\,;$

donc ces quantités deviendront

$g-q\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} q-\theta ^{2}\mathrm {B} p,\qquad -p\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} 'q-\theta ^{2}\mathrm {B} 'p.$

Ainsi l’on aura à la rigueur l’équation

${\frac {d\left(g-\mathrm {B} \theta ^{2}p-\mathrm {A} \theta ^{2}q-q\mathrm {T} \right)}{dz}}={\frac {d\left(-\theta ^{2}q\mathrm {A} '-\theta ^{2}p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} \right)}{dx}},$

de laquelle le temps $t$ ne disparaît que quand $\theta ^{2}$ est proportionnel à $\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire

${\frac {\mathrm {T} dt}{\theta ^{2}}}={\frac {d\theta }{\theta ^{2}}}=\mathrm {const} .\,;$

d’où l’on tire, comme ci-dessus,

$\theta ={\frac {1}{a-bt}}\,;$

au lieu que, selon l’équation de M. d’Alembert, cela doit arriver lorsque

${\frac {\mathrm {T} }{\theta }}=\mathrm {const} .,$

ce qui donne, en intégrant,

$\theta =ac',$

comme cet Auteur l’a trouvé.