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l’angle de $180$ degrés ; donc

$r+1={\frac {\log {\cfrac {\alpha }{\beta }}+(2\nu +1)\pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}},$

et l’on aura les différentes valeurs de $r,$ en faisant successivement $\nu$ égal à $1,-1,2,-2,\ldots$

Si ${\frac {\alpha }{\beta }}$ est une quantité réelle négative, $-{\frac {\alpha }{\beta }}$ sera réelle positive ; c’est pourquoi on supposera

$\lambda ={\frac {-\alpha }{\beta }},\qquad \cos \varphi =1,\qquad \sin \omega =0\,;$

d’où

$\omega =2\nu \pi ,$

et par conséquent

$r+1={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)+2\nu \pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.$

Enfin, si ${\frac {\alpha }{\beta }}$ est une quantité imaginaire de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ on aura

$\lambda \cos \omega =-p\quad {\text{et}}\quad \lambda \sin \omega =-q,$

d’où l’on tire

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\qquad \sin \omega =-{\frac {q}{\lambda }}\quad {\text{et}}\quad \cos \omega =-{\frac {p}{\lambda }}.$

Donc, si l’on suppose que $\omega '$ soit le plus petit angle dont le sinus est égal à $-{\frac {q}{\lambda }},$ et le cosinus à $-{\frac {p}{\lambda }},$ on aura

$\omega =\omega '+2\nu \pi ,$

$\nu$ dénotant comme ci-devant un nombre quelconque entier positif ou négatif, d’où

$r+1={\frac {\log \lambda +(\omega '+2\nu \pi ){\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.$