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équations $(e),$ d’où celle-ci est tirée, on aura, en général,

$\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,$

lorsque $\rho =\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ excepté $\rho _{m},$ auquel cas l’équation se vérifie d’elle-même, à cause du facteur $\rho ^{2}-\rho _{m}^{2}.$

D’où l’on voit que les valeurs de $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,\nu ^{(n)},$ qui satisfont à la condition $(h),$ sont les mêmes que celles qui résultent des équations $(k),$ en y faisant $\rho =\rho _{m}.$ Donc, si l’on dénote ces valeurs par $\nu '_{m},\nu ''_{m},\nu '''_{m},\ldots ,$ et qu’on les substitue dans l’équation $(g),$ on aura

$\mu ^{(m)}={\frac {\nu _{m}'\Delta '+\nu _{m}''\Delta ''+\nu _{m}'''\Delta '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\Delta ^{(n)}}{\nu _{m}'\lambda '_{m}+\nu _{m}''\lambda ''_{m}+\nu _{m}'''\lambda '''_{m}+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda _{m}^{(n)}}}.$

Mais les équations $(f)$ demandent que les quantités $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\ldots ,\Delta ^{(n)}$ soient toutes nulles à l’exception de $\Delta ^{(s)}\,;$ donc, si l’on fait, pour abréger,

$\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}=\mathrm {Q} ,$

et qu’on dénote en général par $\mathrm {Q} _{m}$ la valeur de $\mathrm {Q}$ lorsque $\rho =\rho _{m},$ on aura, pour notre cas,

$\mu ^{(n)}={\frac {\nu _{m}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{m}}},$

et par conséquent

$\mu '={\frac {\nu _{1}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}},\qquad \mu ''={\frac {\nu _{2}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}},\ldots .$

Donc enfin, substituant ces valeurs dans la formule $(e),$ et faisant attention que

$\Delta ^{(s)}=\mu '\lambda _{1}^{(s)}+\mu ''\lambda _{2}^{(s)}+\mu '''\lambda _{3}^{(s)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(s)},$

on aura

$y^{(s)}={\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2}+{\frac {\nu _{3}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{3}}}\theta _{3}+\ldots +{\frac {\nu _{n}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{n}}}\theta _{n}.$

Ainsi le problème ne dépend plus que de la résolution des équations $(c)$ et $(k).$

31. Nous avons trouvé que la quantité $\nu _{m}'\lambda '+\nu _{m}''\lambda ''+\nu _{m}'''\lambda '''+\ldots$$+\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}$