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dont la première est réductible au cas du n^o 55, et dont l’autre étant intégrée donnera $y=\int {\frac {dt}{z^{2}}}\int \mathrm {T} zdt.$

Au reste, ces sortes d’équations peuvent encore s’intégrer par une méthode particulière et fort simple que je vais exposer,

Je fais

${\begin{alignedat}{2}y\cos \mathrm {H} t=&u,&y\cos 2\mathrm {H} t=&v,&\ldots ,&\\y\sin \mathrm {H} t=&U,\qquad &y\sin 2\mathrm {H} t=&V,&\ldots ,&\\\end{alignedat}}$

ce qui me donne

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy}{dt}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {du}{dt}}+\mathrm {H} U,\qquad &{\frac {dy}{dt}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {dv}{dt}}+2\mathrm {H} V,\ldots ,\\{\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} u,&{\frac {dy}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {dV}{dt}}+2\mathrm {H} v,\ldots ,\end{alignedat}}$

et ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}u,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}v,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}U,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}V,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cela posé, j’aurai d’abord, au lieu de l’équation (S), celle-ci

(1)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} _{2}y+i\left[(\mathrm {M-HN} )u+\mathrm {N} {\frac {dU}{dt}}\right]=\mathrm {T} .$

De plus, la même équation (S) étant multipliée successivement par $\cos \mathrm {H} t$ et par $\sin \mathrm {H} t$ donnera

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&\cos \mathrm {H} t+\mathrm {K} ^{2}y\cos \mathrm {H} t+i\left[\mathrm {M} y\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2\mathrm {H} t\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t\right]\\&=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t\end{aligned}}$