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DE MAXIMIS ET MINIMIS.
6. Lorsque les variables sont trois, savoir
la différentielle
prend cette forme
![{\displaystyle d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx+\mathrm {F} dx^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af097bc2678e1225445e8682f2afe0a04ad0cf0)
qu’on réduira d’abord à
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+\mathrm {\left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)+2\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)} dudx+\left(\mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} \right)dx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250437b16ff6dc30db5e07b79bce5fe9982994e7)
Soit posé
![{\displaystyle \mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} =a,\quad \mathrm {E-{\frac {BD}{A}}} =b,\quad \mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} =c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e55e8db671f226fc954e9f3c7fafd82e7fd6d86)
Et on aura
![{\displaystyle d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+adu^{2}+2bdudx+cdx^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56883f22515a1cb0f75de475bfef659e270e9cb)
qu’on opère à présent sur ces trois derniers membres, comme on a fait ci-dessus (4), et toute la différentielle proposée
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+a\left(du+{\frac {bdx}{a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{a}}\right)dx^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cbb99a3bc3a6e9ca0aea5280fd833acd13f8b7)
or, les carrés
et
étant toujours positifs, toute la différentielle sera de même positive si les coefficients
et
ont chacun le signe
on a donc pour le minimum les conditions suivantes
![{\displaystyle \mathrm {A} >0,\quad a>0,\quad ca>b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e059e8692a655809263f2f83c48c4a9b469934)
ou, en remettant au lieu de
leurs valeurs,
![{\displaystyle \mathrm {A>0,\quad C-{\frac {B^{2}}{A}}>0,\quad \left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)\left(F-{\frac {D^{2}}{A}}\right)>\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7cdd06d7c5e08a5311932471b3247f107d8e5f)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {A>0,\quad CA>B^{2}\quad {\text{et}}\quad \left(CA-B^{2}\right)\left(FA-D^{2}\right)>\left(EA-BD\right)^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfc475b10e6bbaadbeec0f0612a97fa2b8fd8a2)