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les équations suivantes :

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s&+{\frac {(\mathrm {I+J} )\left(1+q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}+U}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,\\{\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}+q&+{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,\end{aligned}}

70. Supposons que les forces perturbatrices $\mathrm {R,Q,P}$ soient nulles, en sorte que l’orbite soit décrite en vertu de la seule force tendant au centre du Soleil, et les équations que nous venons de trouver deviendront

{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s-{\frac {\mathrm {I+J} }{\mathrm {C} \left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad {\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}+q=0,

lesquelles étant intégrées donneront

q=\varepsilon \sin(\varphi -\alpha ),\quad s=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}+\eta \cos(\varphi -\omega ).

$\varepsilon ,\alpha ,\eta$ et $\omega$ étant des constantes arbitraires, et $\mathrm {D}$ étant égal à $\mathrm {C} \left(1+\varepsilon ^{2}\right).$

La première de ces deux formules nous montre que l’orbite est toute dans un plan fixe passant par le centre des rayons $r,$ et coupant ce plan de manière que $\varepsilon$ soit la tangente de l’inclinaison, et $\alpha$ le lieu du nœud ascendant.

La seconde fait voir que l’orbite est une ellipse dont le foyer est dans le centre même des rayons vecteurs $r\,;$ et pour en déterminer l’espace et la position on considérera que si l’on nomme $\Phi$ et ${\mathfrak {A}}$ les angles dont $\varphi$ et $\alpha$ sont les projections, on aura, $\Phi -{\mathfrak {A}}$ étant l’argument de latitude, et $\varphi -\alpha$ sa projection,

{\frac {\cos(\varphi -\alpha )}{\cos(\Phi -{\mathfrak {A}})}}={\sqrt {1+q^{2}}},\quad {\frac {\sin(\varphi -\alpha )}{\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})}}={\frac {\sqrt {1+q^{2}}}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}},

et par conséquent

\cos(\varphi -\alpha )={\sqrt {1+q^{2}}}\cos(\Phi -{\mathfrak {A}}),\quad \sin(\varphi -\alpha )={\frac {\sqrt {1+q^{2}}}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})\,;