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donc : 1^o ${\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}+\mathrm {K} '^{2}\int \mathrm {y} 'dt=0,s$ d’où

$\int \mathrm {y} 'dt=-{\frac {d\mathrm {y} '}{\mathrm {K} '^{2}dt}}\,;$

2^o $\int {\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} tdt+\mathrm {K} '^{2}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt=0\,;$ mais

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} tdt={\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t-\mathrm {H} ^{2}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,:$

donc

${\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t=\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} \int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,;$

par conséquent

$\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} t={\frac {\left({\cfrac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {H} y'\cos \mathrm {H} t\right)}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}.$

Donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} +i\mathrm {n} \left[\left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4hh'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}-{\frac {2h\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}\right)\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t\right.$

$\left.+\left({\frac {2h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}-{\frac {4hh'\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}+{\frac {2h'}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}_{2}\right){\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right]=0.$

Ensuite on aura cette équation en $\mathrm {z} \,:$

${\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}\mathrm {z} '\cos \mathrm {H} t=0.$

On trouvera de même des équations semblables en $\mathrm {y} '$ et $\mathrm {z} ',$ suivant la remarque du n^o 77, et l’on aura ainsi quatre équations, lesquelles s’intégreront, comme on le voit, par la méthode du n^o 58.

84. Puisque $\mathrm {H} =h+h'$ (n^o 85) et $\mathrm {K} =h+ik,\ \mathrm {L} =h+il$ (n^o 79), et de même $\mathrm {K} '=h'+ik',\ \mathrm {L} '=h'+il',$ on aura le cas du n^o 60.