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ou bien, en faisant

$\Delta =\delta {\sqrt {{\frac {1+\beta ^{2}}{2}}+{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\nu ht+\beta \sin \eta \sin 2i\nu ht}}\ \ {\text{et}}\ \ {\mathfrak {A}}=\alpha -\psi -i\mu ht,$

$\mathrm {y} =\Delta \cos(ht-{\mathfrak {A}}).$

De même, si l’on fait

$n_{1}+n_{2}=2\rho h,\qquad n_{1}-n_{2}=2\sigma h.$

en sorte que

$\rho ={\frac {l+l'}{2h}},\qquad \sigma ={\frac {\sqrt {(l-l')^{2}+4\mathrm {QQ} '}}{2h}},$

ensuite

$\mathrm {B} _{1}={\frac {(l-l')\mathrm {B+2QB'} }{2h\sigma }},\qquad \mathrm {C} _{1}={\frac {(l-l')\mathrm {C+2QC'} }{2h\sigma }},$

et de plus

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {B} \,\ =&-\lambda \sin \varepsilon ,&\mathrm {C} \,\ =&\lambda \cos \varepsilon ,\\\mathrm {B} _{1}=&-\lambda _{1}\sin \varepsilon _{1},\qquad &\mathrm {C} _{1}=&\lambda _{1}\cos \varepsilon _{1},\end{alignedat}}$

$\varepsilon _{1}=\varepsilon +\omega ,\qquad \lambda _{1}=\gamma \lambda ,$

$\cot \zeta ={\frac {\cot i\sigma ht}{\gamma \cos \omega }}+\operatorname {tang} \omega ,$

enfin

$\Lambda =\lambda {\sqrt {{\frac {1+\gamma ^{2}}{2}}+{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma ht+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht}}\ \ {\text{et}}\ \ {\mathcal {E}}=\varepsilon -\zeta -i\rho ht,$

on aura par l’équation $(x)$

$\mathrm {z} =\Lambda \sin(ht-{\mathcal {E}}).$

Voilà donc les valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ réduites à la même forme que celles du n^o 71 ; d’où il est aisé de conclure que l’orbite de Jupiter est une ellipse, dans laquelle l’excentricité est $i\Delta ,$ le lieu de l’aphélie ${\mathfrak {A}},$ la tangente de l’inclinaison à l’écliptique $i\Lambda ,$ et le lieu du nœud ascendant ${\mathcal {E}}.$ Il en sera de même de l’orbite de Saturne, en marquant seulement les lettres d’un trait.

86. Il faudrait présentement substituer ces valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ dans les équations $(q),$ $(r)$ et $(s)$ du n^o 80, pour en déduire les expressions