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et ensuite

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {5ih}{2}}\delta ^{2}\left({\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\nu ht+\beta \sin \eta \sin 2i\nu ht\right)\\&+{\frac {ih}{2}}\lambda ^{2}\left({\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma ht+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht\right).\end{aligned}}$

Pour intégrer cette équation, soit $(x)$ la valeur de $x,$ dans la supposition de $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ constantes, et dénotons par $\operatorname {d} (x)$ la différentielle de $(x)$ en faisant ces quantités seules variables, il est clair que la valeur complète de ${\frac {d(x)}{dt}}$ sera $\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {\operatorname {d} (x)}{dt}}\,;$ de manière qu’on aura, en intégrant,

$(x)=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt+\int \operatorname {d} (x),$

et par conséquent

$\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt=(x)-\int \operatorname {d} (x).$

Mais comme les différences des quantités $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ sont de l’ordre de $i\mathrm {n} ,$ la quantité $\int \operatorname {d} (x)$ sera aussi du même ordre, et par conséquent elle pourra être négligée, du moins dans la recherche présente ; on aura donc simplement

$\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt=(x)\,;$

donc

${\begin{aligned}x=(x)&+{\frac {5\delta ^{2}}{4\nu }}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\sin 2i\nu ht-\beta \sin \eta (\cos 2i\nu ht-1)\right]\\&+\ {\frac {\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\sin 2i\sigma ht-\gamma \sin \omega (\cos 2i\sigma ht-1)\right],\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\varphi =ht+i(x)&+{\frac {5i\delta ^{2}}{4\nu }}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\sin 2i\nu ht-\beta \sin \eta (\cos 2i\nu ht-1)\right]\\&+\ {\frac {i\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\sin 2i\sigma ht-\gamma \sin \omega (\cos 2i\sigma ht-1)\right],\end{aligned}}$