donc on aura aussi
![{\displaystyle pp'\pm aqq'=r\mathrm {A^{2}B^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3409c4aea44f6c27561e2fd9842c6f2fb1387647)
et, divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle 1=r^{2}-as^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72c3f9f557a07f1f87edaff60527cfeebf269ae)
À l’égard du second cas, il est clair que si les deux quantités ![{\displaystyle pq'-qp',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdfb9041a98dc095a5a8ea8eb7d9eccfb68b156)
étaient divisibles en même temps par
ou par
il faudrait que leur somme
le fût aussi, ce qui ne peut être (à cause que
et
sont premiers à
et
), à moins que l’on n’ait
ou
mais alors
et
seraient nécessairement impairs, ce qui donnerait
de sorte que l’équation (H) deviendrait (en supposant
)
![{\displaystyle 32m\mathrm {A} ^{2}=(pq'+qp')(pq'-qp')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded877e4fa45308773551f1940761556222bac83)
donc, puisque l’une des deux quantités
est supposée divisible seulement par
il faudra que l’autre le soit par
et par conséquent aussi par
ce qui se réduit au premier cas.
Le troisième cas ne peut point avoir lieu du tout, à cause que la somme des quantités
n’étant point divisible par
il est impossible que chacune de ces quantités le soit.
Reste le quatrième cas, dans lequel on aura
n’étant point divisible par
on aura donc, dans ce cas, au lieu de l’équation (G), celle-ci :
![{\displaystyle \mathrm {A^{4}B^{4}} =(pp'\pm aqq')^{2}-as^{2}\mathrm {B} ^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9831b4f38fe4786cfc350b187f5ecf54840eb2f8)
par conséquent, on aura aussi
![{\displaystyle pp'\pm aqq'=r\mathrm {B} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de98c51fd2c2e19857b28a09a4939796f38446e4)
et, divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{4}=r^{2}-as^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d874f1a4dcb9eea5fb3794cc5a90ee7597e057)
et comme
et
ne sont point divisibles par
ne le sera pas non plus, de sorte que
et
seront premiers à ![{\displaystyle \mathrm {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b3a778414f6a1907d8bc1577228f859bedad03)
Ayant l’équation
il faudra encore en avoir une autre