et en général, lorsque l’exposant est
![{\displaystyle y=\left[2^{m-1}p^{m-1}-(m-2)2^{m-3}p^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}2^{m-5}p^{m-5}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308f23729db4462ae1f6b0e0fc8066f3f412e1ae)
![{\displaystyle \left.-{\frac {(m-4)(m-5)(m-6)}{2.3}}2^{m-7}p^{m-7}+\ldots \right]q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386fbe44540fa95426041d72b087732815a24ec2)
On peut mettre encore les expressions générales de
et de
sous une autre forme beaucoup plus simple ; mais il faut pour cela distinguer les cas où
est pair ou impair.
Soit : 1o
impair, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ \ &=p,\\x'''&=-\left(3p-4p^{3}\right),\\x^{\mathrm {v} }\ &=5p-20p^{3}+16p^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafa8ab263579d194af1591acbec73c7e5399adf)
et en général
![{\displaystyle x=\pm \left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c70d91ed7945913f7ea1823c68f57ec970c3304)
![{\displaystyle \left.-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}p^{7}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43263c4a295fa66ffbb126ab444d7af9609aa91d)
le signe supérieur étant pour le cas de
multiple de
plus
et l’inférieur pour celui de
multiple de
plus ![{\displaystyle 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef)
Ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y'''&=-q\left(1-4p^{2}\right),\\y^{\mathrm {v} }\ &=q\left(1-12p^{2}+16p^{4}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a496332d3958d5cfc9511fa327ddb5b44add2f)
et en général
![{\displaystyle y=\pm q\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}p^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}p^{4}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce2036e6b379d7a49e6fcfbb6430ed9b083eacc)
![{\displaystyle \left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dc558fdfd0703cb7583ed885beff6768319c8d)
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.