Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/756

et en général, lorsque l’exposant est $m,$

$y=\left[2^{m-1}p^{m-1}-(m-2)2^{m-3}p^{m-3}+{\frac {(m-3)(m-4)}{2}}2^{m-5}p^{m-5}\right.$

$\left.-{\frac {(m-4)(m-5)(m-6)}{2.3}}2^{m-7}p^{m-7}+\ldots \right]q.$

On peut mettre encore les expressions générales de $x$ et de $y$ sous une autre forme beaucoup plus simple ; mais il faut pour cela distinguer les cas où $m$ est pair ou impair.

Soit : 1^o $m$ impair, on aura

${\begin{aligned}x'\ \ &=p,\\x'''&=-\left(3p-4p^{3}\right),\\x^{\mathrm {v} }\ &=5p-20p^{3}+16p^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$x=\pm \left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}\right.$

$\left.-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}p^{7}\right.$

le signe supérieur étant pour le cas de $m$ multiple de $4$ plus $1,$ et l’inférieur pour celui de $m$ multiple de $4$ plus $3.$

Ensuite

${\begin{aligned}y'\ \ &=q,\\y'''&=-q\left(1-4p^{2}\right),\\y^{\mathrm {v} }\ &=q\left(1-12p^{2}+16p^{4}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$y=\pm q\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}p^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}p^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right],$

où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.