toutes les autres valeurs possibles de
et de
seront nécessairement renfermées dans les formules générales des deux numéros précédents.
Pour cela nous remarquerons d’abord que si l’on a
![{\displaystyle p^{2}-aq^{2}=,\qquad p'^{2}-aq'^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d0ba424c1a0e38c9af96c1e303e3d036b10197)
et que
on aura aussi
car retranchant la première équation de la seconde, on a
![{\displaystyle p'^{2}-p^{2}-a\left(q'^{2}+q^{2}\right)=0,\quad {\text{ou bien}}\quad p'^{2}-p^{2}=a\left(q'^{2}-q^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e464cb146ddba7db4e05ce2bffbe0dd50e5cd8)
donc si
est positif, il faudra que
le soit aussi ; donc ….
Supposons maintenant que
et
soient les plus petites valeurs de
et
dans l’équation
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87882183a4f4859e9ed4e59147adaff5d2991b88)
et que
et
soient les valeurs de
et de
qui sont immédiatement plus grandes que celles-là, en sorte qu’il n’y ait point de nombres plus petits que
et
qu’on puisse prendre pour
et
autres que
et
Cela posé :
Qu’on multiplie ensemble les deux équations
![{\displaystyle p^{2}-aq^{2}=1\quad {\text{et}}\quad p'^{2}-aq'^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca016901144ed23a63004d0b2ff1b9b9a83d3159)
et l’on aura (no 5), en prenant seulement le signe inférieur,
![{\displaystyle (pp'-aqq')^{2}-a(pq'-qp')^{2}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8eae7dd1542ca8640d8433fab15c6c1546b9659)
d’où l’on voit que
sera aussi une des valeurs de
et
une des valeurs de
qui satisfont à la même équation
![{\displaystyle x^{2}-ay^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4eeda5853f0450c1d434346a9697ceeadab9e9)
Or je dis que
est
et
Car 1o soit
on aura
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}{\frac {p'}{q'}}-a={\frac {z}{qq'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da9bf181e2ba4e0911ed435404a0090acecd461)
mais les équations
![{\displaystyle p^{2}-aq^{2}=1\quad {\text{et}}\quad p'^{2}-aq'^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df30e5cb743b48026829887973b001569ab5115f)