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où l’on remarquera que $\mathrm {M}$ sera toujours pair lorsque $r$ et $r'$ ne seront pas nuls à la fois, et qu’au contraire $\mathrm {M}$ sera pair lorsque $r=0$ et $r'=0.$

On pourra poursuivre ces opérations et ces raisonnements aussi loin qu’on voudra.

21. Donc, en général, étant donné un nombre quelconque $\mathrm {N}$ impair, dont les facteurs premiers soient $m,m',m'',\ldots ,$ si l’on nomme $r,r',r'',\ldots$ les restes des divisions de $a^{\frac {m-1}{2}}$ par $m,$ de $a^{\frac {m'-1}{2}}$ par $m',$ de $a^{\frac {m''-1}{2}}$ par $m'',$ et ainsi de suite, et qu’on fasse

$\mathrm {M} =(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,$

les expressions suivantes :

${\begin{aligned}x=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2}},\\y=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{\mathrm {M} }}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

satisferont d’abord à l’équation $x^{2}-ay^{2}=1\,;$ et de plus elles seront telles, que $y$ sera toujours divisible par $\mathrm {N} ,$ et que $x-p$ ou $x-1$ le sera aussi, suivant que $\mathrm {M}$ sera impair ou pair.

Les mêmes choses auront lieu aussi en faisant

$\mathrm {M} =n(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,$

$n$ étant un nombre quelconque entier positif, comme il est facile de le voir par ce que nous avons enseigné dans les numéros précédents.

Je dis de plus que, si l’on fait

$\mathrm {M} =2^{s}n(m-r)(m'-r')(m''-r'')\ldots ,$

$s$ étant un nombre entier positif quelconque, la quantité $y$ sera divisible par $2^{s}\mathrm {N} ,$ et la quantité $x-1$ le sera aussi.