et
peuvent toujours être pris positivement ou négativement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} p'-b}{a}}+\mathrm {Q} q',\\x=&{\frac {(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} )q'+\mathrm {Q} p'-\delta }{2\alpha }}-{\frac {\beta (\mathrm {P} p'-b)}{2\alpha a}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30db31b729f380171c1ad634161104382b066561)
Or nous avons démontré (no 17) que si
et
sont les plus petits nombres qui satisfassent à l’équation
tous les autres nombres possibles sont renfermés dans ces formules :
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7d5f949d2174a9da3a6cf6ec66b8afda6457a4)
en prenant pour
tous les nombres naturels
à l’infini ; donc, si l’on substitue ces valeurs de
et
dans les formules précédentes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P+Q} {\sqrt {a}}}{2a}}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+{\frac {\mathrm {P-Q} {\sqrt {a}}}{2a}}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-{\frac {b}{a}},\\x=&{\frac {a\mathrm {Q} -\beta \mathrm {P} +(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} ){\sqrt {a}}}{4a\alpha }}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}\\&-{\frac {a\mathrm {Q} -\beta \mathrm {P} -(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} ){\sqrt {a}}}{4a\alpha }}\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}-{\frac {\delta -{\cfrac {\beta b}{a}}}{2\alpha }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c3b0b2c6884c9c03fb8bf9589f45cc005cd7d7)
Donc, si l’on met dans ces formules les différentes valeurs de
et
qui naissent des facteurs de
qui sont de la forme de
et qui sont plus grands que l’unité, et qu’on fasse successivement
on aura absolument toutes les solutions rationnelles possibles de l’équation proposée.
3o Soient, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\mathrm {Q-\beta P} =&\mathrm {P} ',\\\mathrm {P+\beta Q} =&\mathrm {Q} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf34fcfbe8717a76f4be7b2edad3ca17afa137c2)