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$\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ peuvent toujours être pris positivement ou négativement,

${\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P} p'-b}{a}}+\mathrm {Q} q',\\x=&{\frac {(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} )q'+\mathrm {Q} p'-\delta }{2\alpha }}-{\frac {\beta (\mathrm {P} p'-b)}{2\alpha a}}.\end{aligned}}$

Or nous avons démontré (n^o 17) que si $p$ et $q$ sont les plus petits nombres qui satisfassent à l’équation $p'^{2}-aq'-^{2}=1$ tous les autres nombres possibles sont renfermés dans ces formules :

${\begin{aligned}p'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\q'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

en prenant pour $m$ tous les nombres naturels $1.2.3.\ldots ,$ à l’infini ; donc, si l’on substitue ces valeurs de $p'$ et $q'$ dans les formules précédentes, on aura

${\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {P+Q} {\sqrt {a}}}{2a}}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+{\frac {\mathrm {P-Q} {\sqrt {a}}}{2a}}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-{\frac {b}{a}},\\x=&{\frac {a\mathrm {Q} -\beta \mathrm {P} +(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} ){\sqrt {a}}}{4a\alpha }}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}\\&-{\frac {a\mathrm {Q} -\beta \mathrm {P} -(\mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} ){\sqrt {a}}}{4a\alpha }}\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}-{\frac {\delta -{\cfrac {\beta b}{a}}}{2\alpha }}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on met dans ces formules les différentes valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui naissent des facteurs de $\mathrm {R}$ qui sont de la forme de $\mathrm {P} ^{2}-a\mathrm {Q} ^{2},$ et qui sont plus grands que l’unité, et qu’on fasse successivement $m=1,2,3,\ldots ,$ on aura absolument toutes les solutions rationnelles possibles de l’équation proposée.

3^o Soient, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}a\mathrm {Q-\beta P} =&\mathrm {P} ',\\\mathrm {P+\beta Q} =&\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$