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On en déduit

$D'={\frac {D\left(\alpha ^{2}+1\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}}$

et

$R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}$.

Le cycle $K'$ est ainsi complètement déterminé, quand le cycle $K$ est donné, puisque l’on connaît la distance de son centre à l’axe et son rayon.

Remarques. — Le cycle $K'$ se réduit à un point, si $R'=0$, ce qui exige que l’on ait

$R\alpha ^{2}-2\alpha D+R=0,$

d’où

$\alpha =D\pm {\sqrt {D^{2}-R^{2}}}$

Il en résulte qu’un cycle étant donné, ainsi que l’axe de transformation, on peut toujours déterminer le module $\alpha$ de la transformation, de façon que ce cycle ait pour transformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas l’axe. En désignant, en effet, par $R$ son rayon et par $D$ la distance de son centre à l’axe, on voit que, $D^{2}-R^{2}$ étant positif, l’équation précédente détermine pour le module $\alpha$ deux valeurs réelles.

Soit $K$ (fig. 6) le cycle donné ; de son centre $O$ abaissons

Fig. 6.

une perpendiculaire $OP$ sur l’axe de transformation, et de son pied $P$ comme centre décrivons le cercle qui coupe