17. La transformation par semi-droites réciproques peut servir, comme la transformation par rayons vecteurs réciproques, soit à simplifier la solution de certains problèmes, soit à généraliser diverses propriétés des figures.
18. Pour en donner un exemple simple, considérons le problème suivant : Construire un cycle touchant trois cycles donnés.
Supposons que les cycles donnés , et soient tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas, nous pouvons, d’après ce qui précède, en prenant cette droite pour axe de transformation, transformer les cycles donnés en trois points , et . Le cercle passant par ces points détermine deux cycles opposés et dont les réciproques seront les solutions du problème. Deux cycles opposés rencontrant l’axe de transformation aux mêmes points, il en est de même de leurs réciproques ; d’où il suit que le problème proposé a deux solutions, et que l’axe radical des deux cycles qui satisfont à la question est l’axe de similitude des cycles donnés.
Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle ; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. À chaque groupe de cycles correspondent deux solutions; le problème proposé aura donc en tout huit solutions.
