Les probabilités correspondantes aux diverses valeurs de n s’obtiennent en multipliant exp(-nu) par les termes successifs du développement en série de exp(nu). La somme est bien encore égale à 1 et le maximum a lieu pour n = nu si nu est entier ou sinon pour le plus grand entier que contient nu. Au jeu de roulette, si la rouge et la noire sont également probables, ce qui est un postulat indépendant de ceux que nous avons faits, la moyenne nu des noires portant sur un grand nombre d’intervalles est évidemment égale à la moitié du nombre des coups joués dans chacun de ces intervalles.
La loi des écarts. —Si nous introduisons dans la formule, au lieu du nombre n, l’écart delta = n-nu à partir de la moyenne, et si nous supposons n assez grand pour qu’on puisse remplacer n ! par la formule bien connue de Stirling, la probabilité d’un écart delta prend la forme
(3) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-(delta^2)/(2*nu))
qui rappelle exactement la loi des erreurs de Gauss. Si au lieu de l’écart absolu, nous introduisons l’écart relatif epsilon = delta/nu, il vient :
(4) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-nu*(epsilon^2)/2)
Cette dernière forme met en évidence un fait
