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Lorentz une définition analogue à celle du groupe de la géométrie, qui est assujetti à conserver sa forme à l’expression de la distance de deux points. Comme l’espace et le temps interviennent ici simultanément c’est sur des événements qu’il nous faut raisonner.

Prenons, comme premier événement, l’émission d’un signal lumineux, notée, au point de vue de sa situation dans l’espace et dans le temps, $x_{0},y_{0},z_{0},t_{0}$ par les observateurs $\mathrm {O}$ et $x'_{0},y'_{0},z'_{0},t'_{0}$ par d’autres observateurs $\mathrm {O} ',$ en mouvement uniforme par rapport aux premiers. Le second événement sera l’arrivée de ce signal lumineux à un appareil de réception quelconque : il sera noté respectivement $x,y,z,t,$ et $x',y',z',t',$ par les groupes d’observateurs $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O'.}$ Pour les observateurs $\mathrm {O,}$ la distance parcourue par la lumière, a pour valeur :

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}$

comme cette distance est parcourue pendant le temps $t-t_{0}$ par la lumière et que celle-ci, pour des observateurs quelconques, se déplace avec la vitesse $\mathrm {V}$ dans toutes les directions, on doit avoir, pour le couple considéré d’événements :

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t-t_{0})^{2}=0.$

La lumière se propageant aussi avec la vitesse V dans toutes les directions pour les observateurs $\mathrm {O} ',$ on doit avoir en même temps :

$(x'-x'_{0})^{2}+(y'-y'_{0})^{2}+(z'-z'_{0})^{2}-\mathrm {V} ^{2}(t'-t'_{0})^{2}=0.$