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LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ

(9)

$\mathrm {d} s^{2}=V^{2}\,\mathrm {d} \tau ^{2}$ ou $\mathrm {d} s=V\,\mathrm {d} \tau$.

Nous donnerons à $\mathrm {d} \tau$ le nom, qui s’impose d’après ce qui précède, de temps propre du mobile entre les deux événements qui se succèdent au même point par rapport à lui. La possibilité d’influence entre deux événements, lorsqu’elle est réelle, est donc proportionnelle, avec le coefficient $V$, à l’intervalle de temps mesuré entre ces événements par des observateurs en mouvement rectiligne et uniforme tel que les deux événements se passent pour eux au même point.

Si leur ligne d’univers n’est pas celle d’un mouvement libre, on a, le long de cette ligne,

(10)

$\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} s=V\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} \tau$.

C’est donc le mouvement rectiligne et uniforme qui donne, d’après la propriété reconnue plus haut, le maximum de temps propre entre deux quelconques des événements par lesquels il passe. On peut encore s’en rendre compte de la manière suivante. Considérons d’autres observateurs O que ceux liés au mobile. Pour eux, celui-ci a une certaine vitesse $v$ à l’instant $t$, et l’on a, d’après la définition de $\mathrm {d} s^{2}$,

$\mathrm {d} s^{2}=V^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-v^{2}\,\mathrm {d} t^{2}=V^{2}(1-\beta ^{2})\,\mathrm {d} t^{2}$,

d’où

(11)

$\mathrm {d} \tau ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\,\mathrm {d} t$

et

$\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\,\mathrm {d} t$,

où $t_{1}$ et $t_{2}$ sont les instants auxquels se passent les