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MÉCANIQUE CÉLESTE

des $z,$ les forces partielles correspondantes seront, par le numéro précédent,

$\mathrm {S} {\frac {x-a}{s}},$ $\mathrm {S} {\frac {y-b}{s}},$ $\mathrm {S} {\frac {z-c}{s}},$   ou    $\mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial x}},$ $\mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial y}},$ $\mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial z}},$

${\frac {\partial s}{\partial x}},$ ${\frac {\partial s}{\partial y}},$ ${\frac {\partial s}{\partial z}}$ exprimant, suivant la notation reçue, les coefficients des variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ dans la variation de l’expression précédente de $s.$

Si l’on nomme pareillement $s'$ la distance de M à un point quelconque de la direction d’une autre force $\mathrm {S} ',$ pris pour l’origine de cette force, $\mathrm {S} '{\frac {\partial s'}{\partial x}}$ sera cette force décomposée parallèlement à l’axe des $x,$ et ainsi de suite ; la somme des forces ${\rm {S,S',S'',}}$ … décomposées parallèlement à cet axe, sera donc $\sum \mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial x}},$ la caractéristique $\sum$ des intégrales finies exprimant ici la somme des termes $\mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial x}},\mathrm {S} '{\frac {\partial s}{\partial x'}},\cdots$

Soient ${\rm {V}}$ la résultante de toutes les forces ${\rm {S,S',\cdots ,}}$ et $u$ la distance du point M à un point de la direction de cette résultante, pris pour son origine ; $\mathrm {V} {\frac {\partial u}{\partial x}}$ sera l’expression de cette résultante décomposée parallèlement à l’axe des $x\ ;$ on aura donc, par le numéro précédent,

$\mathrm {V} {\frac {\partial u}{\partial x}}=\sum \mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial x}}.$

On aura pareillement

$\mathrm {V} {\frac {\partial u}{\partial y}}=\sum \mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial y}},$ $\;\;\mathrm {V} {\frac {\partial u}{\partial z}}=\sum \mathrm {S} {\frac {\partial s}{\partial z}};$

d’où l’on tire, en multipliant respectivement ces trois équations par $\delta x,\delta y,\delta z,$ et en les ajoutant ensemble,

(a)

$\mathrm {V} \delta u=\sum \mathrm {S} \delta s;$

cette dernière équation ayant lieu, quelles que soient les variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ elle équivaut aux trois précédentes. Si son second membre est la variation exacte d’une fonction $\varphi ,$ on aura $\mathrm {V} \delta u=\delta \varphi ,$ et par conséquent

$\mathrm {V} {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}};$