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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

$d\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right),\ d\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right),d\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right),$prises avec un signe contraire ; on aura donc, au lieu de l’équation (P) du même numéro, celle-ci

(S)$0=\sum m\left\{\delta x\left[d\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)-\mathrm {P} dt\right]+\delta y\left[d\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)-\mathrm {Q} dt\right]\right.$

$\left.+\delta z\left[d\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)-\mathrm {R} dt\right]\right\},$

qui n’en diffère qu’en ce que ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ sont multipliés par la fonction ${\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}$ qui, dans le cas de la force proportionnelle à la vitesse, peut être supposée égale à l’unité. Mais cette différence rend très-difficile la solution des problèmes de Mécanique. Cependant on peut tirer de l’équation (S) des principes analogues à ceux de la conservation des forces vives, des aires et du centre de gravité.

Si l’on change $\delta x$ en $dx,\ \delta y$ en $dy,\ \delta z$ en $dz,$ etc., on aura

$\sum m\left[\delta xd\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta yd\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta zd\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)\right]$

$=\sum mvdvdt\varphi '\left(v\right),$

et par conséquent

$\sum \int mvdv\varphi '\left(v\right)=\mathrm {const.} +\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

En supposant $\sum m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$ une différentielle exacte égale à $d\lambda ,$ on aura

(T)

$\sum \int mvdv\varphi '\left(v\right)=\mathrm {const.} +\lambda ,$

équation analogue à l’équation (R) du n° 19, et qui se change en elle dans le cas de la nature, où $\varphi '\left(v\right)=1.$ Le principe de la conservation des forces vives a donc lieu dans toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que l’on entende par force vive d’un corps le produit de sa masse par le double de l’intégrale de sa vitesse multipliée par la différentielle de la fonction de la vitesse qui exprime la force.

Si l’on fait, dans l’équation (S),

$\delta x'=\delta x+\delta x'_{1},\ \delta y'=\delta y+\delta y'_{1},\ \delta z'=\delta z+\delta z'_{1},\ \delta x''=\delta x+\delta x''_{1},\cdots ,$