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MÉCANIQUE CÉLESTE.
toujours la même en temps égal ; mais cette constance des aires décrites n’a point lieu dans d’autres lois.
Si l’on différentie par rapport à la caractéristique
la fonction
on aura
mais on a
on aura donc, en intégrant par parties,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds=\sum {\frac {m\varphi \left(v\right)}{v}}\left({\frac {dx}{dt}}\delta x+{\frac {dy}{dt}}\delta y+{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)\\\\&\ \ -\sum \int m\left[\delta xd\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta yd\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta zd\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)\right]\\\\&\ \ +\sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f90d2e5cc390cb87ac907047a1279b936ee1d6)
Les points extrêmes des courbes décrites par les corps du système étant supposés fixes, le terme hors du signe
disparaît dans cette équation ; on aura donc, en vertu de l’équation (S),
![{\displaystyle \delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8c9dbb16c22716cc195a90bb1d4b5394651f3e)
![{\displaystyle \sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds-\sum \int mdt\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62aae61226b42134e254d4157ed251a83c37b0a)
Mais l’équation (T), différentiée par rapport à
, donne
on a donc
Cette équation répond au principe de la moindre action dans la loi de la nature.
est la force entière du corps
ainsi ce principe revient à ce que la somme des intégrales des forces finies des corps du système, multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, est un minimum : présenté de cette manière, il convient à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse. Dans