Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/119

83

PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

on aura les trois équations suivantes

(B)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} {\frac {x'dy'-y'dx'}{dt}}dm&=\mathrm {N} ,\\\\\mathrm {S} {\frac {x'dz'-z'dx'}{dt}}dm&=\mathrm {N} ',\\\\\mathrm {S} {\frac {y'dz'-z'dy'}{dt}}dm&=\mathrm {N} ''.\end{aligned}}\right.$

Ces trois équations renferment le principe de la conservation des aires ; elles suffisent pour déterminer le mouvement de rotation du corps autour de son centre de gravité ; réunies aux équations (A), elles déterminent complètement les mouvements de translation et de rotation du corps.

Si le corps est assujetti à tourner autour d’un point fixe, il résulte du n° 15 que les équations (B) suffisent pour cet objet ; mais alors il faut fixer à ce point l’origine des coordonnées $x',y',z''.$

26. Considérons particulièrement ces équations, en supposant cette origine fixe à un point quelconque, différent ou non du centre de gravité. Rapportons la position de chaque molécule à trois axes perpendiculaires entre eux, fixes dans le corps, mais mobiles dans l’espace. Soit $\theta$ l’inclinaison du plan formé par les deux premiers axes sur le plan des $x$ et des $y\,;$ soit $\varphi$ l’angle formé par la ligne d’intersection de ces deux plans et par le premier axe ; enfin, soit $\psi$ l’angle que fait avec l’axe des $y$ la projection du troisième axe sur le plan des $x$ et des $y.$ Nous nommerons axes principaux ces trois nouveaux axes, et nous désignerons par $x'',y'',z''$ les trois coordonnées de la molécule $dm,$ rapportées à ces axes. On aura, par le n° 21,

${\begin{aligned}x'&=x''(\cos \theta \sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi )\\&\qquad \qquad \qquad +y''(\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi )+z''\sin \theta \sin \psi ,\\y'&=x''(\cos \theta \cos \psi \sin \varphi -\sin \psi \cos \varphi )\\&\qquad \qquad \qquad +y''(\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi )+z''\sin \theta \cos \psi ,\\z'&=z''\cos \theta -y''\sin \theta \cos \varphi -x''\sin \theta \sin \varphi .\end{aligned}}$

Au moyen de ces équations, on pourra développer les premiers mem-