condition de l’équilibre des mers exige que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}r2\sin ^{2}\theta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0092d391fc154680f1c577e04ca4b73b51fdcf88)
const. ;
on a donc, à cette surface,
constant, c’est-à-dire que la densité de la couche d’air contiguë à la mer est partout la même, dans l’état d’équilibre.
Si l’on nomme
la partie du rayon
comprise entre le centre du sphéroïde et la surface de la mer, et
la partie comprise entre cette surface et une molécule d’air élevée au-dessus,
sera, aux quantités près de l’ordre
la hauteur de cette molécule au-dessus de la surface de la mer : nous négligerons les quantités de cet ordre. L’équation entre
et
donnera
![{\displaystyle lg\log \rho =\mathrm {const.+V} +r'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {r'^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}+{\frac {n^{2}}{2}}\mathrm {R} ^{2}\sin ^{2}\theta +n^{2}\mathrm {R} r'\sin ^{2}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c922c25b76e17e1c97ef0e39fe8247e5c94eaf0a)
les valeurs de
et
étant relatives à la surface de la mer, où l’on a
const.
![{\displaystyle =\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}\mathrm {R} ^{2}\sin ^{2}\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9344070a561ec5223f9f6a90c347292bddf36aa3)
La quantité
est la pesanteur à cette même surface : nous la désignerons par
. La fonction
étant multipliée par la quantité très-petite
nous pouvons la déterminer dans la supposition de la Terre sphérique, et négliger la densité de l’atmosphère relativement à celle de la Terre ; nous aurons ainsi, à fort peu près,
![{\displaystyle -{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}=g'={\frac {m}{\mathrm {R} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40ca8610822f0416a64c8be5c0d1e085bacf8d1)
étant la masse de la Terre ; partant
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}={\frac {2m}{\mathrm {R} ^{2}}}={\frac {2g'}{\mathrm {R} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ca9ab0791d3db4aceb01b56a94459bf5df8925)