et, en intégrant.
![{\displaystyle 0={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}+2\int (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5590a859d8c2a49fd4bc966e178c6787c52092b2)
la constante arbitraire étant indiquée par le signe intégral. En substituant, au lieu de
sa valeur
donnée par la loi de la proportionnalité des aires aux temps, on aura
![{\displaystyle {\frac {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}{(xdy-ydx)^{2}}}+2\int (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b71e28370cf046bf02899a0ecc55ca71617f5de)
Transformons, pour plus de simplicité, les coordonnées
et
en rayon vecteur et en angle traversé, conformément aux usages astronomiques. Soit
le rayon mené du centre du Soleil à celui de la planète, ou son rayon vecteur ; soit
l’angle qu’il forme avec l’axe des
on aura
![{\displaystyle x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d33b33be75c4c1dede61186aa69da68d2747b6)
d’où l’on tire
Si l’on désigne ensuite par
la force principale qui anime la planète, on aura, par le numéro précédent,
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi \cos v,\qquad \mathrm {Q} =\varphi \sin v,\qquad \varphi ={\sqrt {\mathrm {P^{2}+Q^{2}} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d46b4e0e025134c38895f030485a42ff774f845)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy=\varphi dr\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3280e35fb737c2501e7f9d40ae04ac95a73f83)
on aura donc
![{\displaystyle 0={\frac {c^{2}\left(r^{2}dv^{2}+dr^{2}\right)}{r^{4}dv^{2}}}+2\int \varphi dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b6774463bc1400c8f9e4be9ac096710d4e08a)
d’où l’on tire
(3)
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Cette équation donnera, au moyen des quadratures, la valeur de
en
lorsque la force
sera connue en fonction de
; mais si, cette force