et l’équation différentielle en
par
![{\displaystyle m'x'-m'{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ce57b0fcd94659adf098d734c1daf59eac64f6)
et ainsi du reste ; si l’on ajoute ensuite toutes ces équations, en observant que la nature de la fonction
donne
![{\displaystyle 0=\Sigma x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-\Sigma y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0215549c959a812ee3d85de97eab8104852a51a3)
on aura
![{\displaystyle 0=\Sigma m{\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6aae250a5e882316dff2543bf693bcf255acc7)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle \mathrm {const} .=\Sigma m{\frac {xdy-ydx}{dt}}-{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {dx}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef46a658d0c1a1add4499fd3a3233c3f0205f7f0)
ou
(4)
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c étant une constante arbitraire. On parviendra de la même manière aux deux intégrales suivantes :
(5)
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(6)
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étant deux nouvelles arbitraires.
Si l’on multiplie l’équation différentielle en
par
![{\displaystyle 2mdx-2m{\frac {\Sigma mdx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04bc850a969c08e2f3bf92a8fd0c3730b7a0005)
l’équation différentielle en
par
![{\displaystyle 2mdy-2m{\frac {\Sigma mdy}{\mathrm {M} +\Sigma m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc4f48166d99a4e6d933114b81a5c507a796401)