Cette masse est égale à
et, si elle était réunie à son centre, son action sur le point attiré serait
on aura donc
(D)
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en intégrant par rapport à
on aura
![{\displaystyle \psi (r+u)-\psi (r-u)=2ru\int dr\varphi (r)+r\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25adc2934d472405860486fd308e699715a8c3df)
étant une fonction de
et de constantes, ajoutée à l’intégrale
Si l’on représente
par
on aura, en différentiant l’équation précédente,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial r^{2}}}=4u\varphi (r)+2ru{\frac {d\varphi (r)}{dr}},\qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial u^{2}}}=r{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d9735f1c64ac5652264a260650f18d2f7f4c11)
mais on a, par la nature de la fonction ![{\displaystyle \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefdda1e40f99e2c96a1709a201ef9bc0266b2)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial r^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea990aad1694f3844ee1f7a651b09c49112acb0)
partant
![{\displaystyle 2u\left(2\varphi (r)+r{\frac {d\varphi (r)}{dr}}\right)=r{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502f90d7930e49ee6983a85e91dd09e76be0499b)
ou
![{\displaystyle {\frac {2\varphi (r)}{r}}+{\frac {d\varphi (r)}{dr}}={\frac {1}{2u}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efed20b6738ceb0c2bcc2ec1757b4858f5889a4)
Ainsi, le premier membre de cette équation étant indépendant de
et le second membre étant indépendant de
chacun de ces membres doit être égal à une constante arbitraire, que nous désignerons par
on a donc
![{\displaystyle {\frac {2\varphi (r)}{r}}+{\frac {d\varphi (r)}{dr}}=3\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8995e94caa340e080d2002a815e7c7c093d669)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle \varphi (r)=\mathrm {A} r+{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b999d88c9fab59ddb61dc0b59f93b5ec59cedf9)